Orden de Magnitud

Publicado en 4 septiembre, 2010

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“Orden de Magnitud”

Cuando tenemos varias cantidades escritas en forma de potencias de diez, observamos que podemos distinguir con facilidad cual nos representa un mayor valor o cual nos representa un menor valor. Esto es, rápidamente podemos compararlas, y para esta comparación basta con que observemos la potencia de 10, que les corresponden. En forma más simple, decimos que podemos fácilmente determinar el orden de magnitud de dichos números.

Llamaremos Orden de Magnitud (OM) de un número cualquiera a la potencia de 10 mas próxima ha dicho número.

Por ejemplo: el OM de 94 es 102 porque las potencias de diez entre las cuales se encuentra 94 son 101 y 102 y podemos observar que esta mas próximo de la segunda que de la primera.

Como estamos usando el artificio o herramienta matemática de las potencias enteras de 10 y sabemos que la potenciación es la operación inversa a la radicación, los números matemáticos han estado acordes en que, para usar una cantidad que nos sirva como limite de separación para poder establecer con facilidad cual debe ser realmente el OM que debemos asignar a una cantidad numérica cualquiera, debemos emplear 10 = 10 1/ 2 = 3.16

Para establecer entonces cual deber ser el OM de un número hacemos lo siguiente:

a) Expresamos o escribimos el numero como factor de una potencia entera de diez (si no lo esta correctamente)

b) Comparamos los dígitos con 3.16; si son iguales o menores el OM correspondiente ser a la potencia de diez hemos encontrado, pero si los dígitos son mayores que 3.16 le corresponderá la potencia de 10 aumentada a 1.

Ejemplos:

a) 2500; 2500 = 2.5 x 103; OM = 103; tenemos que 2.5 < 3.16

b) OM de la velocidad de la luz en el vacío: 3.108 m/ s, 3 3.16 OM = 105

d) OM de la cantidad 0.000056:

¿Por qué es importante en Física el conocimiento y uso de este nuevo artificio matemático llamado Orden de Magnitud?

Cifras Significativas

Cuando realizamos una medida con un aparato calibrado, como por ejemplo medir cierta distancia con una regla graduada, no necesariamente la magnitud comparada tiene que estar contenida o contener exactamente un número entero de unidades en que se divida el aparato. En caso de que esto ocurra, como siempre es la generalidad de las veces, tenemos que apreciar nosotros mismos una o mas cifras en la mediada, de las cuales no estamos completamente seguros ni tampoco quien lea o estudie nuestra medida, pero no obstante esta incertidumbre, podemos considerar que por lo menos la primera de las cifras inciertas es mas o menos la correcta. Por ejemplo, medimos una longitud con una regla graduada en mms. Y observamos que dicha longitud nos llega hasta 8 cms. y un poco más de 4 mms. estamos completamente seguros que hemos medido con exactitud 8.4 cms., pero y el poco más? Tenemos que fiarnos de nuestra mala o buena apreciación de nuestros ojos, y por ejemplo consideráramos que esta cifra es 3/10 de mm, entonces escribimos: 8.43 cms. No estamos seguros que realmente sea 3/ 10 mms., pero sí estamos completamente seguros de que nuestra medida es mayor que 8.4 y menor que 8.5. La cifra incierta 3, producto de nuestra apreciación sensorial la podemos aceptar como valida en nuestra medida, pero si nuestra apreciación va mas allá de este limite y decimos que apreciamos 8.0462 cms. Ya esta segunda cifra no puede ser aceptada bajo ningún pretexto, hemos querido apreciar centésimas de mms. con nuestros sentidos. Este numero 5 es descartable e incorrecto porque carece de sentido.

De lo anterior concluimos que al efectuar una medición solo debemos escribir las cifras correctas (las que nos indique el aparato) y la primera cifra estimada. Estas cifras se denominan Cifras Significativas.

El uso de cifras significativas obedece a un convencionalismo generalizado entre las personas que realizan mediciones y este procedimiento se debe seguir siempre que se realice una medición de cualquier magnitud: temperatura, longitud, tiempo, espacio, masa, corriente eléctrica,…, o en la presentación de los resultados de los cálculos problemas, etc. Por lo tanto, cuando alguien nos informa que midió una temperatura de 45.83oC, debemos atender que la medición o cálculo realizado se hizo de tal modo que las cifras 45 y 8 son correctas, pero que la cifra 3 es estimada, aunque la aceptemos también como correcta. De esta forma entendemos que las cifras 26 y 26.0 no significan lo mismo, no representa exactamente la misma cosa porque en el primer numero la cifra 6 es dudosa y en el segundo la cifra dudosa es el 0 y también resultados como por ejemplo 8.76 cms. y 8.71 cms. No son fundamentalmente diferentes, pues solo difieren en la cifra dudosa.

Cuando tengamos que resolver problemas de Física, Química, etc. los resultados solo deben contener cifras significativas y para ello debemos seguir las siguientes sencillas reglas:

a) En la Adicción o Sustracción debemos observar cual es la cantidad que posee menor numero de cifras significativas decimales y reducir las demás al mismo numero de cifras que esta, luego proceder a realizar la operación indicada. Por ejemplo:

Realicemos la siguiente adicción de:

3806.4

0.2183

54.25

286.0

Observamos que la primera cantidad es la que posee menor número de cifras significativas decimales (una sola cifra), luego:

3806.4

0.2

54.3

286.0

4146.0 Resultado Correcto

Observemos que cuando en un numero dejamos algunas cifras, la que se mantenga deberá aumentarle en una cantidad si la primera cifra eliminada es igual o mayor que 5 (x 5), – pero si la primera cifra dejara es menor que 5 (x 5) entonces la última que se mantenga permanecerá invariable.

b) En la multiplica y división

Supongamos que deseamos multiplicar 4.23 por 2.6 efectuando “normalmente” la operación, tenderemos:

4.23 x 2.6 = 10.998

Procediendo de esta manera obtenemos en el producto cifras que no son significativas. Para evitar esto debemos observar entre los factores aquel que posea el menor numero de cifras significativas y mantener en el resultado un numero de cifras igual al de este factor. En nuestro anterior ejemplo, el factor de menor número de cifras es 2.6, por consiguiente el resultado debe tener solo dos cifras, esto es que debe ser 11 (aproximado por exceso) y nunca debe ser 10.998

Lo correcto será: 4.23 x 2.6 = 11

En la división se debe observar la misma regla, y podemos decir que el cociente hallado no debe tener más cifras significativas que las que tenga el menor del dividendo o del divisor. Esto es:

6.4 ¸ 2 = 3.2 = Este resultado posee más cifras que el divisor, que solo tiene 1 cifra, por tanto el resultado correcto deberá ser:

6.4 ¸ 2 = 3

Para aplicar las reglas de multiplicación y división, es necesario que sepamos contar las cifras significativas que tiene un número. Un número, por ejemplo, como 0.000036 solo tiene 2 cifras significativas, las cuales son 3 y 6.

El cero solo es cifra significativa cuando esta a la derecha de una cifra significativa. El numero 400 tiene 3 cifras significativas. El numero 0.00402 tiene 3 cifras significativas (4, 0 y 2).

Debemos tener en cuenta todo lo anterior cuando vayamos a realizar una conversión de unidades; por ejemplo, queremos convertir 6.5 kms. a mts.; si decimos que 6.5 kms. = 6500 mts. estamos agregando cifras significativas al número primitivo y cualquiera podría pensar que la última cifra estimada no es 5 sino el último cero. En estos casos, debemos recurrir a las potencias enteras de diez, esto es:

6.5 kms. = 6.5 x 103 ms.

La potencia de diez no es cifra significativa.

Calcule las siguientes expresiones: Determine el orden de magnitud de los resultados.

a) (4.5 x 10-5) (0.0000068) =

1.6 x 10-14

b) (12.8) (8.2 x 107) (3.6 x 10-9) – 1.07 =

c) (6.3 x 10-4)3(0.88 x 107)2 =

(4.9 x 1013) ½

d) 2.7 x 1017 =

(4.6 x1013) (0.00065)

e) (0.5)(9.1 x 10-31)(1.2 x 107)2 =

f) (6.42 x 10-36)1/3 =

{(0.00068) (1.7 x 1018)}1/2

g) (6.0 x 1012)(4.0 x 10-8)(0.0040) =

1.5 x 105

h) (90 x107)(3.0 x 10-6) =

i) (3.6 x105)1/2(4 x 10-2)-3

(3 x 103)-2

j) 70000 =

0.0035

k) 0.501 x 0.042 =

420, 000, 000

l) 5 x 104 x 8 x108 =

m) (3 x 108)x(2 x 105) =

n) 1012 ¸ 10-11 =

o) (9 x 109)¸(4 x 105) =

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Posted in: Fisica I